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Uso de cifras significativas en la medición precisa

Uso de cifras significativas en la medición precisa

Al realizar una medición, un científico solo puede alcanzar un cierto nivel de precisión, ya sea limitado por las herramientas que se utilizan o la naturaleza física de la situación. El ejemplo más obvio es medir la distancia.

Considere lo que sucede al medir la distancia que se movió un objeto usando una cinta métrica (en unidades métricas). La cinta métrica probablemente se divide en las unidades más pequeñas de milímetros. Por lo tanto, no hay forma de que pueda medir con una precisión superior a un milímetro. Si el objeto se mueve 57.215493 milímetros, por lo tanto, solo podemos decir con seguridad que se movió 57 milímetros (o 5.7 centímetros o 0.057 metros, dependiendo de la preferencia en esa situación).

En general, este nivel de redondeo está bien. Obtener el movimiento preciso de un objeto de tamaño normal hasta un milímetro sería un logro bastante impresionante, en realidad. Imagínese tratando de medir el movimiento de un automóvil al milímetro, y verá que, en general, esto no es necesario. En los casos en que dicha precisión sea necesaria, utilizará herramientas que son mucho más sofisticadas que una cinta métrica.

El número de números significativos en una medición se llama el número de personajes importantes del número En el ejemplo anterior, la respuesta de 57 milímetros nos proporcionaría 2 cifras significativas en nuestra medición.

Ceros y cifras significativas

Considere el número 5,200.

A menos que se indique lo contrario, generalmente es una práctica común suponer que solo los dos dígitos distintos de cero son significativos. En otras palabras, se supone que este número se redondeó al centenar más cercano.

Sin embargo, si el número se escribe como 5,200.0, entonces tendría cinco cifras significativas. El punto decimal y el siguiente cero solo se agregan si la medición es precisa a ese nivel.

Del mismo modo, el número 2.30 tendría tres cifras significativas, porque el cero al final es una indicación de que el científico que realizó la medición lo hizo con ese nivel de precisión.

Algunos libros de texto también han introducido la convención de que un punto decimal al final de un número entero indica cifras significativas también. Entonces 800. tendría tres cifras significativas, mientras que 800 tiene solo una cifra significativa. De nuevo, esto es algo variable dependiendo del libro de texto.

Los siguientes son algunos ejemplos de diferentes números de cifras significativas, para ayudar a solidificar el concepto:

Una cifra significativa
4
900
0.00002
Dos cifras significativas
3.7
0.0059
68,000
5.0
Tres cifras significativas
9.64
0.00360
99,900
8.00
900. (en algunos libros de texto)

Matemáticas con cifras significativas

Las cifras científicas proporcionan algunas reglas diferentes para las matemáticas que las que le presentan en su clase de matemáticas. La clave para utilizar cifras significativas es asegurarse de mantener el mismo nivel de precisión durante todo el cálculo. En matemáticas, mantiene todos los números de su resultado, mientras que en el trabajo científico frecuentemente redondea en función de las cifras significativas involucradas.

Al sumar o restar datos científicos, lo que importa es el último dígito (el dígito más alejado a la derecha). Por ejemplo, supongamos que estamos agregando tres distancias diferentes:

5.324 + 6.8459834 + 3.1

El primer término en el problema de suma tiene cuatro cifras significativas, el segundo tiene ocho y el tercero tiene solo dos. La precisión, en este caso, está determinada por el punto decimal más corto. Entonces realizará su cálculo, pero en lugar de 15.2699834 el resultado será 15.3, porque redondeará al décimo lugar (el primer lugar después del punto decimal), porque mientras dos de sus mediciones son más precisas, la tercera no puede decir usted más que el décimo lugar, por lo que el resultado de este problema de suma solo puede ser tan preciso también.

Tenga en cuenta que su respuesta final, en este caso, tiene tres cifras significativas, mientras que ninguna de sus números iniciales lo hicieron. Esto puede ser muy confuso para los principiantes, y es importante prestar atención a esa propiedad de suma y resta.

Al multiplicar o dividir datos científicos, por otro lado, el número de cifras significativas es importante. Multiplicar cifras significativas siempre dará como resultado una solución que tenga las mismas cifras significativas que las cifras significativas más pequeñas con las que comenzó. Entonces, en el ejemplo:

5.638 x 3.1

El primer factor tiene cuatro cifras significativas y el segundo factor tiene dos cifras significativas. Su solución, por lo tanto, terminará con dos cifras significativas. En este caso, será 17 en lugar de 17.4778. Realizas el cálculo luego redondea tu solución al número correcto de cifras significativas. La precisión adicional en la multiplicación no va a doler, simplemente no desea dar un falso nivel de precisión en su solución final.

Usando notación científica

La física se ocupa de los reinos del espacio desde el tamaño de menos de un protón hasta el tamaño del universo. Como tal, terminas lidiando con algunos números muy grandes y muy pequeños. En general, solo los primeros pocos de estos números son significativos. Nadie va a (o podrá) medir el ancho del universo al milímetro más cercano.

Nota

Esta parte del artículo trata sobre la manipulación de números exponenciales (es decir, 105, 10-8, etc.) y se supone que el lector tiene una idea de estos conceptos matemáticos. Aunque el tema puede ser complicado para muchos estudiantes, está más allá del alcance de este artículo abordar.

Para manipular estos números fácilmente, los científicos usan la notación científica. Las cifras significativas se enumeran, luego se multiplican por diez a la potencia necesaria. La velocidad de la luz se escribe como: sombra negra entre comillas = no 2.997925 x 108 m / s

Hay 7 cifras significativas y esto es mucho mejor que escribir 299,792,500 m / s.

Nota

La velocidad de la luz se escribe frecuentemente como 3.00 x 108 m / s, en cuyo caso solo hay tres cifras significativas. Nuevamente, se trata de qué nivel de precisión es necesario.

Esta notación es muy útil para la multiplicación. Sigue las reglas descritas anteriormente para multiplicar los números significativos, manteniendo la menor cantidad de cifras significativas, y luego multiplicas las magnitudes, que siguen la regla aditiva de los exponentes. El siguiente ejemplo debería ayudarlo a visualizarlo:

2.3 x 103 x 3.19 x 104 = 7.3 x 107

El producto tiene solo dos cifras significativas y el orden de magnitud es 107 porque 103 x 104 = 107

Agregar notación científica puede ser muy fácil o muy complicado, dependiendo de la situación. Si los términos son del mismo orden de magnitud (es decir, 4.3005 x 105 y 13.5 x 105), entonces sigue las reglas de suma discutidas anteriormente, manteniendo el valor posicional más alto como su ubicación de redondeo y manteniendo la magnitud igual, como en el siguiente ejemplo:

4.3005 x 105 + 13.5 x 105 = 17.8 x 105

Sin embargo, si el orden de magnitud es diferente, debe trabajar un poco para obtener las magnitudes iguales, como en el siguiente ejemplo, donde un término tiene una magnitud de 105 y el otro término tiene una magnitud de 106:

4.8 x 105 + 9.2 x 106 = 4.8 x 105 + 92 x 105 = 97 x 105
o
4.8 x 105 + 9.2 x 106 = 0.48 x 106 + 9.2 x 106 = 9.7 x 106

Ambas soluciones son iguales, resultando en 9,700,000 como respuesta.

Del mismo modo, los números muy pequeños también se escriben con frecuencia en notación científica, aunque con un exponente negativo en la magnitud en lugar del exponente positivo. La masa de un electrón es:

9.10939 x 10-31 kg

Esto sería un cero, seguido de un punto decimal, seguido de 30 ceros, luego la serie de 6 cifras significativas. Nadie quiere escribir eso, así que la notación científica es nuestra amiga. Todas las reglas descritas anteriormente son las mismas, independientemente de si el exponente es positivo o negativo.

Los límites de figuras significativas

Las cifras significativas son un medio básico que los científicos usan para proporcionar una medida de precisión a los números que están usando. Sin embargo, el proceso de redondeo involucrado aún introduce una medida de error en los números, y en los cálculos de muy alto nivel hay otros métodos estadísticos que se utilizan. Sin embargo, para prácticamente toda la física que se realizará en las aulas de nivel secundario y universitario, el uso correcto de cifras significativas será suficiente para mantener el nivel de precisión requerido.

Comentarios finales

Las cifras significativas pueden ser un obstáculo importante cuando se presentan por primera vez a los estudiantes porque altera algunas de las reglas matemáticas básicas que se les han enseñado durante años. Con cifras significativas, 4 x 12 = 50, por ejemplo.

Del mismo modo, la introducción de la notación científica a los estudiantes que pueden no estar completamente cómodos con los exponentes o las reglas exponenciales también puede crear problemas. Tenga en cuenta que estas son herramientas que todos los que estudian ciencias tuvieron que aprender en algún momento, y las reglas son realmente muy básicas. El problema es recordar casi por completo qué regla se aplica en cada momento. ¿Cuándo agrego exponentes y cuándo los resta? ¿Cuándo muevo el punto decimal a la izquierda y cuándo a la derecha? Si sigues practicando estas tareas, mejorarás en ellas hasta que se conviertan en una segunda naturaleza.

Finalmente, mantener las unidades adecuadas puede ser complicado. Recuerde que no puede agregar centímetros y metros directamente, por ejemplo, sino que primero debe convertirlos a la misma escala. Este es un error común para los principiantes, pero, como el resto, es algo que se puede superar fácilmente disminuyendo la velocidad, teniendo cuidado y pensando en lo que está haciendo.